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ESTRUCTURAS - Sistemas de fuerzas concurrentes: resolución gráfica y analítica
SISTEMAS DE FUERZAS CONCURRENTES: RESOLUCIÓN GRÁFICA Y ANALÍTICA
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Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes. La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un sistema de fuerzas. Se trata de un problema de equivalencia por composición, ya que los dos sistemas (las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza resultante, por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo. En el ejemplo que veremos a continuación vamos a hallar la resultante en forma gráfica y en forma analítica.
 

EL SISTEMA

- Las fuerzas componentes son f1, f2 y f3.

- El punto en común por el que pasan las rectas de acción de las fuerzas componentes es A, cuyas coordenadas son (XA,YA).

- Para definir la resultante R deberemos obtener su módulo, dirección y sentido (argumento) y las coordenadas de un punto cualquiera de su recta de acción...

...como veremos a continuación, su módulo se obtiene midiendo con una regla en el gráfico y multiplicando por escala de fuerzas (por ejemplo: tn/cm).

...y su argumento se obtiene midiendo con transportador el ángulo que va desde el eje X hasta la fuerza, barriendo en el sentido de giro adoptado (horario o antihorario).

...y las coordenadas de un punto cualquiera de su recta de acción ya las conocemos, porque tratándose de un sistema de fuerzas concurrentes, la recta de acción de la resultante R también pasará por ese punto A.

 

RESOLUCIÓN GRÁFICA

Ahora vamos a hallar la resultante en forma gráfica. Para ello, considerando los datos dados, definiremos una escala de fuerzas (tantas toneladas equivalen a tantos centímetros dibujados en la hoja de papel). Luego iremos armando el polígono de fuerzas, dibujando una a una las fuerzas, una a continuación de la otra, respetando la longitud y el ángulo de cada una de ellas.

Datos del sistema:

f1=3t - 1=0º / f2=4t - 2=45º / f3=5t - 3=105º / A=(3,2)
Esc. fzas. = 1tn/1cm
Giro en sentido horario

(1) Utilizaremos regla para dibujar las fuerzas y transportador para trazar los ángulos... Considerando los datos, dibujamos la f1. En nuestro caso medirá 3cm.

(2) A continuación de f1, dibujamos la f2 que medirá 4cm.
(3) A continuación de f2, dibujamos la f3 que medirá 5cm.

(4) Ahora dibujamos la fuerza resultante, que surge de unir el comienzo de la f1 con el extremo de la f3. La "flecha" de la resultante va hacia la "flecha" de f3, la última fuerza. ¿Y esto por qué? Porque estamos hallando una fuerza (la resultante) que es equivalente a las tres fuerzas componentes de nuestro sistema (f1, f2, f3).

(5) Midiendo con la regla la longitud de la resultante obtenemos su módulo. Midiendo con transportador el ángulo R obtenemos su argumento.

Esto es: 8,8cm - 59º

(6) Y para finalizar, transportamos en forma paralela la recta de acción de la resultante -usando la regla y la escuadra- haciéndola pasar por el punto de aplicación A. Ya hemos resuelto el problema en forma gráfica.

Siendo: R=8,8t - R=59º

(7) La fuerza equilibrante surge de unir el extremo de la f3 con el comienzo de la f1. La "flecha" de la equilibrante va hacia el comienzo de f1, la primera fuerza. Conforman un polígono de fuerzas cerrado. La equilibrante es una fuerza de igual recta de acción, intensidad y sentido contrario que el de la resultante. Se trata de un problema de equilibrio por composición.

Siendo: E=8,8t - E=239º

 

RESOLUCIÓN ANALÍTICA

Ahora vamos a hallar la resultante en forma analítica. Recordamos los datos del sistema:

f1=3t - 1=0º / f2=4t - 2=45º / f3=5t - 3=105º / A=(3,2)

Primero vamos a hallar las proyecciones de R: Rx y Ry

Rx = Fi x cos i
Ry = Fi x sen i

Luego, con Rx y Ry hallamos la resultante R:


(esto nos dará el módulo)

R = arc tg Ry/Rx
(esto nos dará el argumento)

A=(3,2)
(es el punto de aplicación, dato del problema por ser un sistema de fuerzas concurrentes)


Esto lo escuché en las teóricas...
"Donde hay un triángulo, existe un triángulo de fuerzas" (contemporáneo argentino)

Resolvemos el problema:

Rx = 3t x cos 0º + 4t x cos 45º + 5t x cos 105º
Rx = 3t + 2,83t + (-1,29t)
Rx = 4,54t

Ry = 3t x sen 0º + 4t x sen 45º + 5t x sen 105º
Ry = 0t + 2,83t + 4,83t
Ry = 7,66t

R =
R = 8,90t

R = arc tg 7,66t/4,54t
R = arc tg 1.69
R = 59.34º

Comparamos los resultados obtenidos gráfica y analíticamente.
 
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